AL123 人文社科会员免费专区文学 2022-09-23

解題背後的心理學：行不通就換方法，建構有效的數學思維_AZW3_MOBI_EPUB_艾佛瑞德 S. 波薩曼提爾，蓋瑞．柯斯，丹妮耶爾．索羅．維葛達默，凱瑟琳．基芙—柯柏曼

内容节选

第一章解題簡史人類是解決問題的動物。亞里斯多德將人類定義為Zoon Logikon，大致可翻譯為理性的動物，儘管當時理性還未被定義。我們是理性動物的另一個好案例，在於我們在人類文明演化的漫長歷史中一直呈現對比賽、神秘事物及謎題的興趣。除了身為優秀解題者的純實用性之外，在信史甚或更早之前，人類就著迷於解題並以此為樂。此類活動創造出某種最終需獲解脫的懸疑感，來得到情感淨化──那是觀賞悲劇、解開巨大謎團，以及解開具挑戰性問題時會有的情緒性解脫。歷史上有一個例子說明了人類對於解題的著迷，那就是伊底帕斯古老傳說中的人面獅身謎語。人面獅身是隻有著女性頭部、胸部，以及獅子身軀及鳥翅的怪獸，她會以一個謎語向所有膽敢進入底比斯的人打招呼。她問：「什麼東西早晨有四隻腳，中午有兩隻腳，傍晚則是三隻腳？」若無法解出謎題就會招來死亡，正確答案則能摧毀人面獅身。伊底帕斯給出的答案是：「是人類。人在嬰兒階段（也就是生命的早晨）以四肢爬行，長成後（生命的午時）能夠站立便以雙腳走路，老年時（暮光之年）則在拐杖的輔助下行走。」就這樣，他在毫不自知的情況下，解開了自己充滿悲劇的過去與未來之謎。再來想想米諾斯國王。他建了一座迷宮，困住人身牛頭怪物米諾陶爾（Minotaur），以此報復自己的兒子遭雅典人殺害之仇。每一年，都有十四名雅典青年被送進迷宮，從未有人逃出來過，直到忒修斯（Thesus）在米諾斯國王的女兒阿里阿德涅（Ariadne）的幫助下斬殺了米諾陶爾之後，跟著自己進迷宮時解開並一路施放的線團、在蜿蜒的通道中找到出口。這一類迷人又神秘的冒險故事所捕捉的並不是現實，更準確來說，而是人類經驗中情緒與理性被凸顯的真實方式。在信史中，最古老的書籍是解謎遊戲及謎題集錦。現存最早的手稿中，有一本數學謎題集被稱為阿莫斯紙草書（Ahmes Papyrus），得名自抄寫本書的埃及抄寫者（亦稱為林德紙草書，此名稱來自1858年收購此書的蘇格蘭古文物家）。這份紙草書是個匿名作品，抄錄於西元前33年，在靠近古底比斯的一處遺址中被發現。這本書有八十四個具挑戰性的算術、幾何及代數題目，並附有計算面積的表格、分數的轉換、線性方程式，以及其他與測量有關的資訊。打開這份紙草書，就會看到一段雋語：「正確的計算：所有存在事物及隱密知識的入口」。據信，這份紙草書是本實用手冊，對於準確計算何以是成功解題的關鍵，做了詳細說明。當中有些問題出自其他地區，不是用阿莫斯所使用的語言呈現。其中一個問題（第七十九題）以一張清單來呈現，並未留下問題的敘述：這張清單在義大利數學家李奧納多・皮薩諾（Leonardo Pisano，也就是今日人們所知的斐波那契（Fibonacci，c. 1170-1250）所著的《計算書》（Liber Abaci）中以題目形式出現，他添加了一個問題以及額外的次方：有七個老婦人前往羅馬。每個婦人有七頭騾子，每頭騾上馱了七個麻袋，每個麻袋中裝了七個麵包，每個麵包上插了七把刀，每把刀上有七層刀鞘可以握持。請問：婦人、騾子、麻袋、麵包、刀及刀鞘的總數是多少？在這個問題中，存在著特定的數字概念，7的連續次方：71、72、73、74、75、76；而最後一個數字是前面各個數字的總和。這個問題的另一個版本以些微變化出現在18世紀的英國兒歌〈前往聖哀維斯的路上〉（Going to St. Ives）中：在我前往聖哀維斯的路上，我遇到了一個帶著七個妻子的男人，每個妻子都帶著七個麻袋，每個麻袋裡都裝著七隻貓，每隻貓都有七隻小貓，貓、小貓、麻袋和妻子，總共有多少人要前往聖哀維斯？這首童謠是個陷阱題，它問的是「有多少人要前往聖哀維斯」，而不是「有多少人從聖哀維斯來」。事實上，只有敘述者要前往聖哀維斯，其他所有人都是從那座城前來的。這些早期問題集中有許多帶有教育目的。亞歷山大港數學家丟番圖（Diophantus，200-284 C.E.）撰寫的《算數》（Arithmetica）一書，是由闡述代數方程式的謎題所組成，這本希臘選集編纂了類似於阿莫斯紙草書內容的謎語、雋語及數學謎題。阿爾坤（Alcuin，735-804 C.E.）的《青年益智題集》（Problems for Sharpening the Young，查理曼大帝委託而作），以及花拉子米（Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī，1048-1123 C.E.）的《恢復與還原的計算》（Calculation by Restoration and Reduction）都是知名範例。到了13世紀，這類選集變得非常普遍，當中以斐波那契的《計算書》最為知名。斐波那契將該作品設計成對於印度─阿拉伯數字系統的輕鬆簡介，在大約五十年後這個數字系統成為歐洲的主流。在該書第三部（第十二章）中出現了他最有名的問題──「兔子」謎題......