AL123 微积分的人生哲学_AZW3_MOBI_EPUB_［美］史蒂夫·斯托加茨;李晓东译
内容节选
一旦我决定献身于数学，在接下来的9年里，我的人生轨迹就变得清晰了。我一直在接受专业训练。在那段时间，乔夫里先生和我很少给对方写信。在绿色的文件夹里，虽然那个时期的信只有3封，但已经有了一些变化。在1980年12月16日的信中，我第一次对乔夫里先生表达了感激之情，并描绘了我生活的线性路径： 到我们再次相见之前，请保重身体并继续从事您伟大的工作，我感谢过您的鼓励吗？好吧，我现在就为您对我的巨大帮助表示感谢。 我打算先攻取博士学位（可能是理论物理，也可能是应用数学），然后结婚（还没有结婚对象），成为教授，终身学习，快乐地生活！ 乔夫里先生会对这种线性生活怎么看呢？他会纠正我并告诉我生活不是线性的，生活更像是划皮划艇航程中无法预测的激流吗？我无法回忆起他的看法了，因为他的回信，以及1989年之前的所有信件都丢失了。这只是个委婉的说法，事实是我把它们扔掉了。 1981年我再次给他写信。这封信是关于各种位移的：数学位移操作，以一种封闭的形式解决斐波那契数列，一个达到杰米·威廉姆斯的传奇成就的理性途径。 亲爱的乔夫里先生： 我今天去西哈特福德的英国商店，碰巧遇到了以前在卢米斯的一个老朋友。我们简单聊了几句，这让我意识到我非常想念您和曾经的老师、同学们。我先简单说一下我的近况，然后与您分享一个数学问题。我记得您曾对杰米·威廉姆斯发现了斐波那契数列第n项的一个封闭表达式感到不可思议。在这封信中，我会给您看一种可以对所有数列进行封闭表达的方法。 实际上，我很想知道杰米是怎样做的——可能只是“看出”答案，然后采用归纳法。多么神奇！ 好了，说说我吧。我在1980年从普林斯顿毕业并取得数学学士学位。我的毕业论文是关于生物化学领域中的一个问题的，解决这个问题需要数学技巧（拓扑学和微分几何）。这在生物化学里有些麻烦，但我打算攻克它（如果我可以的话），不管怎样，我已经在《美国科学院院报》上发表了一篇论文。 我还得到了马歇尔奖学金，现在在剑桥大学三一学院（牛顿当年所在的学院）学习两年应用数学。我将会在明年的一个星期三回来。无论是文化方面还是学术方面，这都是一次非常好的经历。我还加入了剑桥大学篮球队（我第一次打篮球还是在卢米斯的JV队）。离开剑桥后，我希望能够在哈佛或伯克利攻读应用数学的博士学位。幸运的话，我会在某所大学找个教授的职位。 希望您和您的家人一切都好。我很喜欢那份关于您的新闻简报，虽然它迟到了5个月（到英国的邮件太慢了）。 达到杰米·威廉姆斯传奇成就的途径 现在开始谈数学了。两年前，我在罕布什尔学院给资优高中生上暑期数学课程时学会了一种方法，我一会儿就会介绍这种方法。 我们学习用递归（即如果你知道前n项，根据某些定义规则，你就会知道第n+1项）来定义数列的策略是引入一个算子，这个算子叫作位移算子。当重写这些项时，斐波那契问题就简化了，如我下面要展示的。 这个算子比较好的一点是它是单一下标（即an周围有很多算子，而不是an+2、an+26，等等）。你会明白我的意思的。 1．左位移算子 假设我们有一个数列x1，x2，x3，…记为数列{xn}。接着按下列规则给出左位移算子L： L（xn）=xn+1 这里xn是数列{xn}的一个元素。所以如果L符合整个数列x1，x2，x3，x4，…它就产生数列{L（xn）}=Lx1，Lx2，Lx3，…=x2，x3，x4，x5，… 这正是原始数列向后位移一个位置（即向左拉回一个空格），因此命名为“位移算子”。 2．继续斐波那契法则 当a1=a2=1时，an+2=an+1+an可以根据我们的位移算子L写成an+1=L（an）；an+2=L（an+1）=L［L（an）］=L2（an）。 所以an+2-an+1-an=0L2（an）-L（an）-1·an=0。象征性地，通过“分解”an可重写成（L2-L-1）an=0。 把L2-L-1当成一个程序或者一个暗箱，输入数字an，然后输出一个新的数字。如果an恰好是一个斐波那契数，结果就为零。 注意类比到微分方程，由导数运算符得到函数y的导数y'（Dy=y'）。我总是认为解含有D的方程是有趣的，好像它只是一个变量，而不是一个运算符号。例如，它至少令我惊奇的地方是（D+i）y=0与（D+i）（D-i）y=0是等价的。你现在可以当它只是个代数方程，分别解（D+i）y=0和（D-i）y=0。然后通用解法是两个单独解Ae-ix和Beix的“线性组合”。答案呼之欲出了！ 3．关键之处（针对搞理论的人） 上面所有的技巧都是可能并且合理的，因为D是一个线性运算符，即D（y1+y2）=Dy1+Dy2，并且D（ay）=aDy。现在对我们来说最妙的是位移算子L（它是数列对数列，而不是函数对函数）也是线性的。 因此，所有程序的线性分析（那些我就不烦您了）都允许我们通过解（L2-L-1）an=0这个方程来完成。......
- 封面页
- 信息
- 献词
- 中文版序 关于人生，我从数学中学到了一切
- 前言 比微积分更深奥的东西
- 测一测 微积分的人生哲学，你了解吗？
- 第一部分 直线的青春岁月
- 第1章 人生没有断点
- 初识乔夫里
- 山羊与斐波那契数列
- 他成了我不可思议的啦啦队员
- 第2章 人生总是螺旋式的，也可能无解
- 典型的乔夫里式问题
- 我们能解的问题只是少数
- 第3章 改变参照系，你会变得很强大
- 爱因斯坦与他的相对论
- 写给乔夫里先生的第一封信
- 换个方式，不用对数螺旋又如何
- 第4章 发现自己，走出无理数人生
- 数学家们对■的好奇心
- 优雅强大的几何证明法
- 永不后悔的选择
- 第二部分 螺旋上升的职业生涯
- 第5章 位移一点点，关系更亲近
- 达到杰米·威廉姆斯传奇成就的途径
- 从“乔夫里”到“乔夫”
- 第6章 餐垫上的证明，一切源于分享
- 令人着迷的无穷级数
- 傅里叶级数与伽马函数
- 写在餐具垫上的公式
- 特别的“艺术”作品
- 第7章 人生总有相遇点
- 和尚与山
- 同一时间、同一地点的不同旅程
- 不寻常的问题，需要不寻常的方法
- 共同见证他教师生涯的最高成就
- 第8章 不可预知的随机选择
- 婚礼与葬礼
- 停留在浪尖的瞬间
- 违反直觉的三门问题
- 第三部分 非线性的人生感悟
- 第9章 极限与无穷，也许是人生的全部
- 波耶的神秘极限
- 尖峰的奇想
- 第10章 婚姻是种混沌
- 不可预测的生活走向
- 无穷乘积后柳暗花明
- 他告别了教育生涯
- 第11章 直线的路径并不是最快的
- 最速降线轨迹
- 生活处处有难题
- 第12章 人生就是相变转折的集合
- 生老病死，我们都避不开
- 30年后，我才走近他的生活
- 第13章 时间总是推着你，这就是人生
- 快一点，再快一点
- 海伦公式，幸福在前方
- 76岁老人的告白
- 译者后记
