微积分的人生哲学_AZW3_MOBI_EPUB_［美］史蒂夫·斯托加茨;李晓东译

内容节选

一旦我决定献身于数学，在接下来的9年里，我的人生轨迹就变得清晰了。我一直在接受专业训练。在那段时间，乔夫里先生和我很少给对方写信。在绿色的文件夹里，虽然那个时期的信只有3封，但已经有了一些变化。在1980年12月16日的信中，我第一次对乔夫里先生表达了感激之情，并描绘了我生活的线性路径： 到我们再次相见之前，请保重身体并继续从事您伟大的工作，我感谢过您的鼓励吗？好吧，我现在就为您对我的巨大帮助表示感谢。 我打算先攻取博士学位（可能是理论物理，也可能是应用数学），然后结婚（还没有结婚对象），成为教授，终身学习，快乐地生活！ 乔夫里先生会对这种线性生活怎么看呢？他会纠正我并告诉我生活不是线性的，生活更像是划皮划艇航程中无法预测的激流吗？我无法回忆起他的看法了，因为他的回信，以及1989年之前的所有信件都丢失了。这只是个委婉的说法，事实是我把它们扔掉了。 1981年我再次给他写信。这封信是关于各种位移的：数学位移操作，以一种封闭的形式解决斐波那契数列，一个达到杰米·威廉姆斯的传奇成就的理性途径。 亲爱的乔夫里先生： 我今天去西哈特福德的英国商店，碰巧遇到了以前在卢米斯的一个老朋友。我们简单聊了几句，这让我意识到我非常想念您和曾经的老师、同学们。我先简单说一下我的近况，然后与您分享一个数学问题。我记得您曾对杰米·威廉姆斯发现了斐波那契数列第n项的一个封闭表达式感到不可思议。在这封信中，我会给您看一种可以对所有数列进行封闭表达的方法。 实际上，我很想知道杰米是怎样做的——可能只是“看出”答案，然后采用归纳法。多么神奇！ 好了，说说我吧。我在1980年从普林斯顿毕业并取得数学学士学位。我的毕业论文是关于生物化学领域中的一个问题的，解决这个问题需要数学技巧（拓扑学和微分几何）。这在生物化学里有些麻烦，但我打算攻克它（如果我可以的话），不管怎样，我已经在《美国科学院院报》上发表了一篇论文。 我还得到了马歇尔奖学金，现在在剑桥大学三一学院（牛顿当年所在的学院）学习两年应用数学。我将会在明年的一个星期三回来。无论是文化方面还是学术方面，这都是一次非常好的经历。我还加入了剑桥大学篮球队（我第一次打篮球还是在卢米斯的JV队）。离开剑桥后，我希望能够在哈佛或伯克利攻读应用数学的博士学位。幸运的话，我会在某所大学找个教授的职位。 希望您和您的家人一切都好。我很喜欢那份关于您的新闻简报，虽然它迟到了5个月（到英国的邮件太慢了）。 达到杰米·威廉姆斯传奇成就的途径 现在开始谈数学了。两年前，我在罕布什尔学院给资优高中生上暑期数学课程时学会了一种方法，我一会儿就会介绍这种方法。 我们学习用递归（即如果你知道前n项，根据某些定义规则，你就会知道第n+1项）来定义数列的策略是引入一个算子，这个算子叫作位移算子。当重写这些项时，斐波那契问题就简化了，如我下面要展示的。 这个算子比较好的一点是它是单一下标（即an周围有很多算子，而不是an+2、an+26，等等）。你会明白我的意思的。 1．左位移算子 假设我们有一个数列x1，x2，x3，…记为数列{xn}。接着按下列规则给出左位移算子L： L（xn）=xn+1 这里xn是数列{xn}的一个元素。所以如果L符合整个数列x1，x2，x3，x4，…它就产生数列{L（xn）}=Lx1，Lx2，Lx3，…=x2，x3，x4，x5，… 这正是原始数列向后位移一个位置（即向左拉回一个空格），因此命名为“位移算子”。 2．继续斐波那契法则 当a1=a2=1时，an+2=an+1+an可以根据我们的位移算子L写成an+1=L（an）；an+2=L（an+1）=L［L（an）］=L2（an）。 所以an+2-an+1-an=0L2（an）-L（an）-1·an=0。象征性地，通过“分解”an可重写成（L2-L-1）an=0。 把L2-L-1当成一个程序或者一个暗箱，输入数字an，然后输出一个新的数字。如果an恰好是一个斐波那契数，结果就为零。 注意类比到微分方程，由导数运算符得到函数y的导数y'（Dy=y'）。我总是认为解含有D的方程是有趣的，好像它只是一个变量，而不是一个运算符号。例如，它至少令我惊奇的地方是（D+i）y=0与（D+i）（D-i）y=0是等价的。你现在可以当它只是个代数方程，分别解（D+i）y=0和（D-i）y=0。然后通用解法是两个单独解Ae-ix和Beix的“线性组合”。答案呼之欲出了！ 3．关键之处（针对搞理论的人） 上面所有的技巧都是可能并且合理的，因为D是一个线性运算符，即D（y1+y2）=Dy1+Dy2，并且D（ay）=aDy。现在对我们来说最妙的是位移算子L（它是数列对数列，而不是函数对函数）也是线性的。 因此，所有程序的线性分析（那些我就不烦您了）都允许我们通过解（L2-L-1）an=0这个方程来完成。......

1. 封面页
2. 信息
3. 献词
4. 中文版序　关于人生，我从数学中学到了一切
5. 前言　比微积分更深奥的东西
6. 测一测　微积分的人生哲学，你了解吗？
7. 第一部分　直线的青春岁月
1. 第1章　人生没有断点
1. 初识乔夫里
2. 山羊与斐波那契数列
3. 他成了我不可思议的啦啦队员
2. 第2章　人生总是螺旋式的，也可能无解
1. 典型的乔夫里式问题
2. 我们能解的问题只是少数
3. 第3章　改变参照系，你会变得很强大
1. 爱因斯坦与他的相对论
2. 写给乔夫里先生的第一封信
3. 换个方式，不用对数螺旋又如何
4. 第4章　发现自己，走出无理数人生
1. 数学家们对■的好奇心
2. 优雅强大的几何证明法
3. 永不后悔的选择
8. 第二部分　螺旋上升的职业生涯
1. 第5章　位移一点点，关系更亲近
1. 达到杰米·威廉姆斯传奇成就的途径
2. 从“乔夫里”到“乔夫”
2. 第6章　餐垫上的证明，一切源于分享
1. 令人着迷的无穷级数
2. 傅里叶级数与伽马函数
3. 写在餐具垫上的公式
4. 特别的“艺术”作品
3. 第7章　人生总有相遇点
1. 和尚与山
2. 同一时间、同一地点的不同旅程
3. 不寻常的问题，需要不寻常的方法
4. 共同见证他教师生涯的最高成就
4. 第8章　不可预知的随机选择
1. 婚礼与葬礼
2. 停留在浪尖的瞬间
3. 违反直觉的三门问题
9. 第三部分　非线性的人生感悟
1. 第9章　极限与无穷，也许是人生的全部
1. 波耶的神秘极限
2. 尖峰的奇想
2. 第10章　婚姻是种混沌
1. 不可预测的生活走向
2. 无穷乘积后柳暗花明
3. 他告别了教育生涯
3. 第11章　直线的路径并不是最快的
1. 最速降线轨迹
2. 生活处处有难题
4. 第12章　人生就是相变转折的集合
1. 生老病死，我们都避不开
2. 30年后，我才走近他的生活
5. 第13章　时间总是推着你，这就是人生
1. 快一点，再快一点
2. 海伦公式，幸福在前方
3. 76岁老人的告白
10. 译者后记