张朝阳的物理课_AZW3_MOBI_EPUB_张朝阳

内容节选

瑞利-金斯公式推导第二部分，及普朗克修正、黑体辐射公式[1] 摘要：在上一节求解阻尼运动的基础上，本节将进一步求解周期外电场下阻尼运动的方程，并求出单位时间内谐振子辐射的平均能量，结合能量均分定理求得瑞利-金斯公式，但此公式在高频区与实验不符合。最后按照普朗克提出的量子化假设条件，得到了与实验相符的黑体辐射公式（Planck’s law）。 一、求解外周期电场驱动下的谐振子辐射能量 上一节探讨了无外力驱动情况下的阻尼振动方程。由于阻尼力导致系统能量衰减，振幅也随之衰减。经证明，辐射阻尼可以等效成与速度成正比的阻尼，在此基础上考虑系统受到周期外驱动力的情况。黑体仍然与上节一样被视为固有频率为的谐振子的集合，但与上一节有所不同的是，现在将黑体处在频率为ω、振幅为的周期电场E的环境中，电场随时间变化的具体表达式为： 黑体中的带电谐振子会受到电场力的驱动进行受迫振动，由牛顿第二定律可得其运动方程为： 我们知道在没有外力的情况下，它会按照其固有频率振动。当考虑阻尼振动时，它是以类似“衰减”的方式继续振荡。我们猜测当这里再加上第三项电场的贡献之后，会不会还是以某种方式振荡呢？我们不妨先大胆猜测一下，然后再小心求证。 先假设方程的解具有如下形式： 代入运动方程，得到简单的代数方程： 最终解得复振幅为： 可以发现与之前无阻尼的受迫振动不同，现在的振幅是个复数。为了看清复振幅的含义，将复数振幅用其模与辐角α表示为： 代回原来谐振子的解中，可以清楚地看到谐振子仍然是个简谐运动，振幅为；而辐角α的存在只是使谐振子的振动与外电场的振动之间有个相位差。另外，根据上述表达式，也可以轻松求得实振幅的平方： 其中*号表示复共轭。这个谐振子做的是加速运动，会辐射电磁波。谐振子的加速度为： 注：Re代表取实部。 利用上节导出的辐射电磁波能量与加速度的关系式，可以求得在频率为ω、振幅为的周期电场E的作用下，谐振子单位时间辐射出的平均能量为： 利用光强I与电场的关系，以及电子经典半径的表达式，可以将单位时间辐射的能量表达成更简单的形式： 注：其中，是频率为ω的周期电场的光强，虽然我们的推导是在某一偏振方向得到的，但若将看成包含所有偏振的强度，那么也包含了所有偏振的电磁辐射；而，若q为电荷e，则是经典电子半径，可以用来度量电荷与电磁波的散射截面。 当外加电磁场频率ω达到共振频率时，单位时间辐射的能量会趋于无穷大。而现在考虑辐射阻尼后，共振时单位时间辐射的能量就不会趋于无穷大了。但因为γ很小，所以若将辐射能量与外电磁场频率ω的函数关系画出来，仍然可以明显看出在频率附近有个极高的共振峰。 计算谐振子单位时间辐射的能量 上述讨论只考虑了外电场只有单个频率的情况，若光强随频率ω有一个分布，由于不同频率的光之间的相位差是随机的，所以谐振子辐射的总能量是将所有频率的能量加起来： 注：由于辐射阻尼系数γ非常小，被积函数基本上集中在共振峰附近，整个积分可近似用附近的积分替代，所以第二个等号中光强分布可以直接用替换，第四个等号与第五个等号中的ω也可以替换成。另外基于同样道理，倒数第二个等号可把积分区间放宽到负无穷而不影响积分的主要结果。 二、能量均分定理与瑞利-金斯公式 仔细探寻辐射电磁波的能量来源，会发现谐振子受到的辐射反冲力对谐振子做负功，相当于谐振子的能量通过辐射阻尼转化为辐射出去的电磁波能量。于是单位时间由于辐射阻尼导致谐振子能量的减少量，等于单位时间辐射出去的能量: 另外，上一节也证明了，某一频率ω简谐振动下的谐振子由于阻尼导致的能量衰减率与能量的关系为： 由于这里不同频率的外电磁波之间的相位是随机的，所以谐振子的能量是不同频率能量的直接叠加，因此也满足上述衰减率与能量的关系式，由此可以得到单位时间辐射出去的能量与谐振子能量的关系： 接下来考虑黑体与周围电磁波环境达到温度为T的热平衡的情况。此时黑体与周围电磁波环境都不再发生变化，由于黑体对入射的电磁波不会有反射和透射，那么黑体辐射与黑体对环境电磁波的吸收达到平衡，所以此时环境光强分布也正是温度为T的黑体辐射。 根据能量均分定理，黑体中一个谐振子的每一自由度都拥有的能量，由于谐振子是三维的，它可以朝三个相互垂直的方向独立振动，在某一方向上具有一个自由度的振动动能和一个自由度的振动势能，即一个方向上谐振子有2个关于振动的自由度，那么三个垂直的方向共有2×3＝6个振动自由度，于是单个谐振子在温度T时具有的平均能量为，联立前面导出的辐射能与谐振子能量的关系式以及刚刚推导出的的表达式可以得出： 可以解得： 为了进一步化简，我们需要用到上一节课求得的辐射阻尼系数的表达式： 将此表达式代入的表达式中，最终可以得到描述黑体辐射的公式： 注：这里将换成了ω，因为原则上可以随意选择不同固有频率的谐振子构成的黑体模型进行讨论，并且最终的黑体辐射与......

1. 扉页
2. 目录
3. 张朝阳手稿演示
4. 自序
5. 第一部分 经典力学问题
1. 牛顿定律与守恒量专题
1. 空间站的速度有多快？ ——初识牛顿运动定律和万有引力
2. 在力的作用下物体的动能怎么改变？ ——介绍能量守恒与动量守恒
3. 均匀球体的引力可否等效到球心？ ——推导球坐标系的体积微元
4. 卫星如何绕地飞行？ ——推导卫星轨迹方程
5. 空间站受到扰动会不会掉下来？ ——第二宇宙速度及空间站扰动问题
6. 花样滑冰怎样才能转得更快？ ——质点系的运动定律和角动量定理
7. 陀螺仪为什么能定位方向？ ——讨论飞轮进动的原理
2. 振动和波专题
1. 微波炉为什么能加热食物？ ——振动方程和共振现象
2. 琴弦的频率该怎么调？ ——推导并求解琴弦的波动方程
3. 声音的速度和什么有关？ ——推导空气的声波方程和声速
6. 第二部分 光电问题
1. 电磁波与光的散射
2. 蓝天红日白云朵，光的散射现象多
7. 第三部分 热力学与统计物理问题
1. 热力学定律专题
1. 绝热过程中压强与体积有何关系？ ——讲解热力学基本定律
2. 熵是什么？ ——探讨热力学第二定律
3. 熵为何不能减小？ ——再探热力学第二定律
2. 温度与温标专题
1. 氧气含量为什么随着高度降低？ ——分析分子数密度随高度的变化
2. 热力学温标与理想气体温标为何一致？ ——推导理想气体状态方程
3. 统计物理专题
1. 经典力学的绝热指数为何与实验不符？ ——推导理想气体的绝热方程
2. 定容比热为何会随温度成阶梯状？ ——探究双原子分子的比热问题
3. 大气中氢气含量为何低？ ——推导麦克斯韦速度分布律
8. 第四部分 黑体辐射问题
1. 黑体辐射、瑞利-金斯公式的推导第一部分
2. 瑞利-金斯公式推导第二部分，及普朗克修正、黑体辐射公式
3. 从普朗克黑体辐射公式看维恩位移定律
4. 计算太阳的光强与推导斯特藩定律
9. 第五部分 量子力学问题
1. 量子力学基础专题
1. 量子力学诞生的背景 ——进军量子力学
2. 波粒二象性 ——量子力学的核心特点
3. 薛定谔方程 ——量子力学的牛顿定律
4. 求解(定态)薛定谔方程 ——以无限深方势阱为例
2. 从“氢”开始研究
1. 求解氢原子模型（一） ——将二体问题化为单体问题
2. 求解氢原子模型（二） ——哈密顿量算符径向与角向分离
3. 求解氢原子模型（三） ——求解薛定谔方程的角向部分
4. 求解氢原子模型（四） ——氢原子径向波函数
5. 从原子走向化学 ——分析多电子原子
6. 求解谐振子模型 ——量子力学更广泛的应用
7. 双原子分子的光谱问题 ——结合氢原子和谐振子
10. 第六部分 相对论问题
1. 狭义相对论专题
1. 迈克尔逊-莫雷实验，洛伦兹变换，时间膨胀，长度缩短
2. 洛伦兹变换推导，质量速度关系推导，质量能量关系推导
3. 狭义相对论应用实例
11. 第七部分 天体物理
1. 太阳专题
1. 太阳究竟有多大、有多重？ ——对常见天文常量的估算
2. 太阳的寿命有多长？ ——估算太阳的寿命和太阳形成所花的时间
3. 太阳的中心温度等于多少？ ——探讨太阳内部结构
4. 光竟然具有压力 ——探讨太阳辐射层光压能否辅助气压抵抗引力
5. 太阳对流层的对流速度有多大？ ——借助光的多普勒效应
2. 潮汐专题
1. 怎么解释潮汐现象？（上） ——求解地月系统的离心势能与引力势能
2. 怎么解释潮汐现象？（下） ——计算潮汐高度
3. 太阳也有潮汐力？ ——计算太阳引力对地月系统的影响
3. 中子星专题
1. 中子星的自转有多快？ ——中子星的起源与自转角速度
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