数值计算方法（第4版）_马东升 编著；董宁 编著_AZW3_MOBI_EPUB_PDF_电子书（无页码）_马东升 编著；董宁 编著

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4.2 拉格朗日插值 拉格朗日插值是用插值基函数构造的，下面讨论其构造方法、插值余项或截断误差和误差估计。 4.2.1 线性插值和抛物线插值 已知函数y=f（x）在节点x0和x1有函数值y0=f（x0），y1=f（x1），求构造一次多项式L（x）=a0+a1x，使它满足条件L（x0）=y0，L（x1）=y1，如图4-1所示。这种插值称为线性插值，显然在节点上插值的误差为0。 容易验证，所求一次插值多项式，即过（x0,y0），（x1，y1）的直线为 ▲图4-1 线性插值 为了便于推广，记 这是x的一次函数，且有性质 l0（x0）=1,l0（x1）=0 l1（x0）=0,l1（x1）=1 l0（x）与l1（x）称为线性插值基函数。于是线性插值函数可以表示为函数值y0，y1与基函数的线性组合 L（x）=l0（x）y0+l1（x）y1 例4-1 已知y=f（x）的函数表 求线性插值多项式，并计算x=1.5时函数的近似值。 解 已知两点的线性插值多项式 常用线性插值构造数学用表。 例4-2 已知，求。 解 利用线性插值 线性插值只用两个点，计算方便，应用广泛，但插值区间[x0，x1]要小，且f（x）变化要比较平稳，否则误差大。下面介绍用三个点的抛物线插值。 抛物线插值是已知y=f（x）在节点x0，x1，x2上的函数值y0，y1,y2，求二次多项式L（x）=a0+a1x+a2x2，使之满足 L（xi）=yi,i=0,1,2 根据要满足的三个条件，确定三个未知数a0、a1和a2，当然可采用解线性方程组的待定系数法确定，但是由于解方程组的计算量比较大，尤其是未知数比较多的时候，拉格朗日插值不采用解方程组的方法，而是用基函数的方法构造插值多项式，下面仿照线性插值，用基函数构造抛物线插值多项式，然后可方便地推广到一般情况。 设方程组满足L（xi）=yi，i=0,1,2条件的方程为 L（x）=l0（x）y0+l1（x）y1+l2（x）y2 其中基函数应满足表4-1。 表4-1 以l0（x）为例说明基函数的求取方法，当x取x1，x2时，l0（x）为0；当x取x0时，l0（x0）=1。因此 l0（x）=A（x-x1）（x-x2） 其中A是用l0（x0）=1求出的， ， 因此，有 同理 因此 抛物线插值是三个二次式的线性组合，是x的（不高于）二次式，在节点上插值多项式的值和已知函数值相等。 例4-3 已知f（x）的函数表 求抛物线插值多项式，并计算f（1.5）的近似值。 解 代入抛物线插值公式 例4-4 利用100，121和144的开方值求。 解 由已知 f（115）≈L（115）=10.7228，该近似值有四位有效数字。这是构造数学用表的一种方法。 4.2.2 拉格朗日插值多项式 下面进一步研究n次插值的情形。 已知函数y=f（x）在n+1个节点 x0